Waar staat die planeet? Deel 1

In een sterrenkundige almanak, zoals de Hemelkalender, kan men vinden wanneer de Zon, de Maan en de planeten opkomen en ondergaan. Om die tijdstippen te berekenen, moeten we de positie, bijvoorbeeld van een planeet, aan de lokale hemel berekenen. En dat gaat niet zo gemakkelijk.

Barycentrische efemeriden

De positie van een planeet kunnen we berekenen aan de hand van zogenaamde efemeriden. Er zijn verschillende efemeriden, berekend door verschillende sterrenkundige instituten overal in de wereld: in de V.S., in Frankrijk en in Rusland.
De basis van deze efemeriden bestaat uit een reeks wiskundige formules, waarmee men de positie van de planeet kan berekenen ten opzichte van het zwaartepunt van het zonnestelsel. Men noemt deze efemeriden de barycentrische efemeriden, waar 'barycenter' zwaartepunt betekent.

De positie van het zwaartepunt van het zonnestelsel
van begin 2020 tot begin 2040 (blauw) ten opzichte
van de Zon (rood)

Het zwaartepunt van het zonnestelsel is het centrale punt waar de massa's van de Zon en alle planeten als het ware zijn uitgemiddeld. Aangezien de Zon veruit het zwaarste object is in het zonnestelsel, ligt dat zwaartepunt dicht bij het centrum van de Zon. De exacte positie hangt vooral af van de positie van Jupiter en Saturnus, de zwaarste planeten van ons zonnestelsel. Soms ligt het zwaartepunt binnenin de Zon, soms ligt het er buiten (zie figuur hiernaast). 

We kennen nu nog maar de positie van de planeet ten opzichte van het 'centrum' van het zonnestelsel. Het eerste wat we moeten doen is de positie van de planeet ten opzichte van de Aarde bepalen. Daarvoor berekenen we de positie van de Aarde op hetzelfde moment als de positie van de planeet. Het verschil tussen de twee is dan de positie van de planeet ten opzichte van de Aarde.

Lichttijd 

Zo gemakkelijk is het niet...het licht heeft immers een zekere tijd nodig om van de planeet tot bij de Aarde te komen. Aan een snelheid van ongeveer 300 000 km per seconde duurt dat tot enkele tientallen minuten. De tijd die het licht nodig heeft om van de planeet tot de Aarde te reizen noemen we de lichttijd. Het gevolg is dat we op de Aarde de planeet zien op de positie waar deze planeet stond toen het licht de planeet verliet, dat is dus de 'lichttijd geleden'. Kijken we bijvoorbeeld op Aarde om 16h00m00s naar een planeet die op een lichttijd van exact 7 minuten van ons af staat (dus op een afstand van 7 x 60 x 300 000 km), dan zien we de planeet op de plaats waar deze om 15h53m00s stond.
Om de juiste positie te bepalen moeten we dus rekening houden met de lichttijd. Het vervelende is dat de lichttijd afhangt van de positie van de planeet en dat de positie van de planeet afhangt van de tijd, dus ook van de lichttijd. Daarom moeten we opeenvolgende betere schattingen berekenen van de lichttijd en de positie van de planeet, tot beide consistent zijn met elkaar --- in wiskundige termen gezegd: we moeten itereren.

Itereren is niet leuk voor de programmeur die dit alles netjes in een computerprogramma moet gieten. Je moet een lus programmeren die herhaald wordt tot er 'convergentie' is. Je moet correcte formules vinden om de convergentie te controleren: niet te laks (anders is het niet nauwkeurig genoeg) en niet te streng (anders convergeert het niet). Je moet opletten voor oneindige lussen waarbij het programma eindeloos blijft doordraaien zonder een resultaat te vinden. Brrr, liever rechttoe-rechtaan programmeren dan iteraties...

Nadat we rekening hebben gehouden met de lichttijd, vinden we de zogenaamde astrometrische geocentrische positie. Die is het verschil tussen de positie van de planeet op het moment dat het licht de planeet verliet en de positie van de Aarde op het moment van de waarneming. De astrometrische geocentrische positie is de positie van de planeet, 'gezien' vanuit het centrum van de Aarde, vandaar 'geocentrisch'. Het is ook een positie die men onmiddellijk kan vergelijken met een sterrenkaart, vandaar 'astrometrisch'.

We zijn er nog niet... We moeten in een volgende stap de astrometrische coordinaten omzetten naar schijnbare coordinaten... Daarover meer in het tweede deel...

Kim Yung-un en kwantummechanica

Wat heeft Kim Yung-un te maken met kwantummechanica? Welnu, de toestand van de leider is onzeker. Er zijn verschillende geruchten die de ronde doen: hij is onder een raket terecht gekomen, hij heeft een hartoperatie ondergaan of hij zit gewoon in zijn buitenverblijf. Wat er aan de hand is weten we niet; we wachten tot hij weer in het openbaar verschijnt en een verklaring aflegt die het mysterie zal oplossen.

De toestand van Kim Yung-un kan perfect worden beschreven met kwantummechanica. Elk van de mogelijke toestanden van de leider kan worden uitgedrukt met een golffunctie: één voor onder de raket, één voor de hartoperatie en één voor het buitenverblijf. Elke golffunctie drukt de specifieke mogelijke toestand van de leider uit. De volledige toestand van de Noord-Koreaanse leider is een lineaire combinatie ('superpositie') van deze drie golffuncties. Hoe we de drie functies samentellen hangt af van de waarschijnlijkheid dat Kim zich in elk van de toestanden bevindt, bijvoorbeeld 30% kans op de rakettoestand, 50% kans op de operatie en 20% kans op het buitenverblijf. De ware toestand van Kim Yung-un blijft voor ons verborgen: we kennen enkel de superpositie van golffuncties die ons zegt dat het één van de drie mogelijkheden is.

Als Kim Yung-un weer in het openbaar verschijnt, komt dat overeen met een kwantummechanische waarneming. De golffunctie 'stort in elkaar' en één van de drie mogelijkheden van de golffunctie verschijnt nu met zekerheid. De kwantumonwaarschijnlijkheid wordt dus door de waarneming weggenomen. 

Dit voorbeeld toont ook de dikwijls misleidende interpretatie die men geeft van de proef met de kat van Schrödinger. De kat wordt beschreven door een golffunctie met twee toestanden: dood of levend, elk voor 50%. Men zegt dan dikwijls dat de kat 50% dood is en 50% levend (maar dat we dat niet kunnen zien). Dat is misleidend. Vergelijk met Kim Yung-un: het is niet zo dat hij voor 30% onder een raket heeft gezeten, voor 50% is geopereerd en voor de resterende 20% op zijn buitenverblijf zit --- welk deel zou dat dan zijn? Hij heeft voor 100% onder een raket gezeten, of is voor 100% geopereerd  of zit voor 100% in zijn buitenverblijf. Het zijn de waarschijnlijkheden dat hij zich in elk van de toestanden bevindt die 30%, 50% en 20% zijn.