Waar staat die planeet? Deel 1

In een sterrenkundige almanak, zoals de Hemelkalender, kan men vinden wanneer de Zon, de Maan en de planeten opkomen en ondergaan. Om die tijdstippen te berekenen, moeten we de positie, bijvoorbeeld van een planeet, aan de lokale hemel berekenen. En dat gaat niet zo gemakkelijk.

Barycentrische efemeriden

De positie van een planeet kunnen we berekenen aan de hand van zogenaamde efemeriden. Er zijn verschillende efemeriden, berekend door verschillende sterrenkundige instituten overal in de wereld: in de V.S., in Frankrijk en in Rusland.
De basis van deze efemeriden bestaat uit een reeks wiskundige formules, waarmee men de positie van de planeet kan berekenen ten opzichte van het zwaartepunt van het zonnestelsel. Men noemt deze efemeriden de barycentrische efemeriden, waar 'barycenter' zwaartepunt betekent.

De positie van het zwaartepunt van het zonnestelsel
van begin 2020 tot begin 2040 (blauw) ten opzichte
van de Zon (rood)

Het zwaartepunt van het zonnestelsel is het centrale punt waar de massa's van de Zon en alle planeten als het ware zijn uitgemiddeld. Aangezien de Zon veruit het zwaarste object is in het zonnestelsel, ligt dat zwaartepunt dicht bij het centrum van de Zon. De exacte positie hangt vooral af van de positie van Jupiter en Saturnus, de zwaarste planeten van ons zonnestelsel. Soms ligt het zwaartepunt binnenin de Zon, soms ligt het er buiten (zie figuur hiernaast). 

We kennen nu nog maar de positie van de planeet ten opzichte van het 'centrum' van het zonnestelsel. Het eerste wat we moeten doen is de positie van de planeet ten opzichte van de Aarde bepalen. Daarvoor berekenen we de positie van de Aarde op hetzelfde moment als de positie van de planeet. Het verschil tussen de twee is dan de positie van de planeet ten opzichte van de Aarde.

Lichttijd 

Zo gemakkelijk is het niet...het licht heeft immers een zekere tijd nodig om van de planeet tot bij de Aarde te komen. Aan een snelheid van ongeveer 300 000 km per seconde duurt dat tot enkele tientallen minuten. De tijd die het licht nodig heeft om van de planeet tot de Aarde te reizen noemen we de lichttijd. Het gevolg is dat we op de Aarde de planeet zien op de positie waar deze planeet stond toen het licht de planeet verliet, dat is dus de 'lichttijd geleden'. Kijken we bijvoorbeeld op Aarde om 16h00m00s naar een planeet die op een lichttijd van exact 7 minuten van ons af staat (dus op een afstand van 7 x 60 x 300 000 km), dan zien we de planeet op de plaats waar deze om 15h53m00s stond.
Om de juiste positie te bepalen moeten we dus rekening houden met de lichttijd. Het vervelende is dat de lichttijd afhangt van de positie van de planeet en dat de positie van de planeet afhangt van de tijd, dus ook van de lichttijd. Daarom moeten we opeenvolgende betere schattingen berekenen van de lichttijd en de positie van de planeet, tot beide consistent zijn met elkaar --- in wiskundige termen gezegd: we moeten itereren.

Itereren is niet leuk voor de programmeur die dit alles netjes in een computerprogramma moet gieten. Je moet een lus programmeren die herhaald wordt tot er 'convergentie' is. Je moet correcte formules vinden om de convergentie te controleren: niet te laks (anders is het niet nauwkeurig genoeg) en niet te streng (anders convergeert het niet). Je moet opletten voor oneindige lussen waarbij het programma eindeloos blijft doordraaien zonder een resultaat te vinden. Brrr, liever rechttoe-rechtaan programmeren dan iteraties...

Nadat we rekening hebben gehouden met de lichttijd, vinden we de zogenaamde astrometrische geocentrische positie. Die is het verschil tussen de positie van de planeet op het moment dat het licht de planeet verliet en de positie van de Aarde op het moment van de waarneming. De astrometrische geocentrische positie is de positie van de planeet, 'gezien' vanuit het centrum van de Aarde, vandaar 'geocentrisch'. Het is ook een positie die men onmiddellijk kan vergelijken met een sterrenkaart, vandaar 'astrometrisch'.

We zijn er nog niet... We moeten in een volgende stap de astrometrische coordinaten omzetten naar schijnbare coordinaten... Daarover meer in het tweede deel...

Kim Yung-un en kwantummechanica

Wat heeft Kim Yung-un te maken met kwantummechanica? Welnu, de toestand van de leider is onzeker. Er zijn verschillende geruchten die de ronde doen: hij is onder een raket terecht gekomen, hij heeft een hartoperatie ondergaan of hij zit gewoon in zijn buitenverblijf. Wat er aan de hand is weten we niet; we wachten tot hij weer in het openbaar verschijnt en een verklaring aflegt die het mysterie zal oplossen.

De toestand van Kim Yung-un kan perfect worden beschreven met kwantummechanica. Elk van de mogelijke toestanden van de leider kan worden uitgedrukt met een golffunctie: één voor onder de raket, één voor de hartoperatie en één voor het buitenverblijf. Elke golffunctie drukt de specifieke mogelijke toestand van de leider uit. De volledige toestand van de Noord-Koreaanse leider is een lineaire combinatie ('superpositie') van deze drie golffuncties. Hoe we de drie functies samentellen hangt af van de waarschijnlijkheid dat Kim zich in elk van de toestanden bevindt, bijvoorbeeld 30% kans op de rakettoestand, 50% kans op de operatie en 20% kans op het buitenverblijf. De ware toestand van Kim Yung-un blijft voor ons verborgen: we kennen enkel de superpositie van golffuncties die ons zegt dat het één van de drie mogelijkheden is.

Als Kim Yung-un weer in het openbaar verschijnt, komt dat overeen met een kwantummechanische waarneming. De golffunctie 'stort in elkaar' en één van de drie mogelijkheden van de golffunctie verschijnt nu met zekerheid. De kwantumonwaarschijnlijkheid wordt dus door de waarneming weggenomen. 

Dit voorbeeld toont ook de dikwijls misleidende interpretatie die men geeft van de proef met de kat van Schrödinger. De kat wordt beschreven door een golffunctie met twee toestanden: dood of levend, elk voor 50%. Men zegt dan dikwijls dat de kat 50% dood is en 50% levend (maar dat we dat niet kunnen zien). Dat is misleidend. Vergelijk met Kim Yung-un: het is niet zo dat hij voor 30% onder een raket heeft gezeten, voor 50% is geopereerd en voor de resterende 20% op zijn buitenverblijf zit --- welk deel zou dat dan zijn? Hij heeft voor 100% onder een raket gezeten, of is voor 100% geopereerd  of zit voor 100% in zijn buitenverblijf. Het zijn de waarschijnlijkheden dat hij zich in elk van de toestanden bevindt die 30%, 50% en 20% zijn.

Drie broers voor Spica

Spica is de helderste ster van het sterrenbeeld Maagd. Het is een heel bijzondere ster: hij behoort tot de groep van de beta Cephei sterren, genoemd naar het prototype, de ster beta van het sterrenbeeld Cepheus.

Beta Cephei

Beta Cephei sterren zijn zware sterren, met een massa van zeven tot twintig keer die van de Zon. Ze zijn ook erg helder, 10 000 tot 100 000 keer helderder dan de Zon, en ze zijn blauw-wit van kleur. Over een periode van enkele uren 'pulseren' ze: worden ze telkens opnieuw helderder en zwakker en ook groter en kleiner. Ze zijn het helderst wanneer ze het kleinst zijn. In zichtbaar licht verandert de helderheid niet veel: minder dan een tiende tot maximaal enkele tienden van een magnitude.
Eigenaardig is dat in beta Cephei sterren verschillende periodes van lichtverandering zitten. De verandering van helderheid is veelal een combinatie van twee en zelfs van drie of meer periodes. Deze sterren pulseren dus met verschillende periodes tegelijk. De pulsaties in beta Cephei sterren ontstaan doordat de ster periodiek minder en meer doorzichtig wordt.
Spica is een van de helderste beta Cephei sterren. Het bijzondere aan Spica is dat de periodieke variaties van de helderheid van deze ster in 1970 zijn stilgevallen. Spica is dus een beta Cephei ster die niet (meer) pulseert. Waar het vreemde gedrag van deze ster vandaan komt, is vooralsnog een raadsel.

Het sterrenbeeld Maagd met de ster Spica, gemakkelijk zichtbaar met het blote oog. Deze kaart komt uit 'Twaalf Maanden Sterren Kijken', een uitgave van de Vereniging voor Sterrenkunde.

 

Belgisch

Er is een lange traditie van Belgische sterrenkundigen die beta Cephei sterren waarnemen. Armand Van Hoof (1906 - 1989), die professor sterrenkunde was aan de KU Leuven deed in de jaren 1940 tot eind 1960 heel wat waarnemingen van beta Cephei sterren. Hij mat de het verloop van de helderheid van de sterren en bepaalde de verschillende periodes waarmee de helderheid veranderde. Hij deed deze waarnemingen onder meer aan het Boyden Observatory in Bloemfontein (Zuid-Afrika).
In de jaren 1970 en 1980 was Christiaan Sterken van de VU Brussel een actief onderzoeker van beta Cephei sterren. Hij ontdekte heel wat nieuwe veranderlijken van dit type. Hij mat hun helderheid en bepaalde de periodes waarmee ze pulseren. Daarbij werkte hij dikwijls samen met de Poolse sterrenkundige Mikolaj Jerzykiewicz. Aan de KU Leuven werkten verder ook Christoffel Waelkens en Conny Aerts aan beta Cephei sterren.
Onder meer dank zij hun werk kennen we vandaag een honderdtal beta Cephei sterren. Van enkele tientallen sterren denken we dat ze beta Cephei sterren zijn, maar is dit (nog) niet bewezen.

 

Drie nieuwe sterren

En onlangs ontdekte een groep sterrenkundigen van de KU Leuven nog drie 'nieuwe' beta Cephei sterren. De groep stond onder de leiding van Siemen Burssens van het Instituut voor Sterrenkunde van de universiteit. Ze identificeerden de drie beta Cephei sterren aan de hand van waarnemingen met de Kepler satelliet (die naar exoplaneten zocht); niet de oorspronkelijke missie, maar de 'verlengde' missie K2. Die leverde hen waarnemingen op van de helderheid van de sterren over een ononderbroken periode van 70 dagen.
Het gaat om drie sterren die de prozaïsche aanduidingen CD-28 12286, CD-27 10876 en LS 3978 hebben meegekregen. Vooral de tweede van deze drie sterren was erg interessant. Deze ster heeft een magnitude van 11. In het waargenomen verloop van de helderheid kon men maar liefst 23 verschillende periodes ontdekken! Geen enkele andere beta Cephei ster heeft meer pulsatieperiodes dan CD-27 10876.
De onderzoekers willen deze sterren verder opvolgen. Waarnemingen over een langere periode kunnen ons immers nog veel meer vertellen
over de inwendige structuur van beta Cephei sterren en dus over de inwendige structuur van zware sterren, iets waarover we nog betrekkelijk weinig weten. 

Het onderzoeksteam bestond uit Siemen Burssens, Dominic Bowman, Conny Aerts, May Gade Pedersen, Ehsan Moravveji en Bram Buysschaert. Hun werk werd gepubliceerd in het vakblad Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.

Opgegeten maar niet (helemaal) verteerd

Een indruk van de beweging van de sterren van Gaia-Enceladus (geel)
tijdens de botsing met ons melkwegstelsel, ongeveer 10 miljard jaar
geleden. Figuur: ESA; Koppelman, Villalobos and Helmi;
NASA/ESA/Hubble, CC BY-SA 3.0 IGO

Ons melkwegstelsel bestaat uit een platte schijf met veel jonge sterren met daar rond een bolvormige halo met oude sterren. De schijf bevat vooral jonge sterren. De halosterren zijn de oudste sterren in ons melkwegstelsel. Ze bevatten veel minder zwaardere elementen dan de sterren in de schijf. 

Een aantal sterren in de buurt van de Zon behoort tot de binnenste delen van de halo van ons melkwegstelsel en is blauwer dan de andere sterren. Deze halosterren bewegen zich ook anders doorheen ons sterrenstelsel: ze onderscheiden zich van de ‘normale’ sterren doordat ze een snelheid hebben die meer dan 200 km/s afwijkt van de gemiddelde snelheid van de sterren in onze buurt, de zogenaamde lokale ruststandaard. Vele van die halosterren bewegen zich trager rondom het centrum van ons melkwegstelsel dan de Zon. Sommige draaien zelfs de andere kant op, tegengesteld aan de algemene rotatie van ons sterrenstelsel.

Een team sterrenkundigen onder de leiding van Amina Helmi van de Universiteit van Groningen (Nederland) gebruikte recente nieuwe resultaten van Gaia satelliet om dertigduizend van deze bijzondere sterren te identificeren aan de hand van hun beweging ten opzichte van de Zon.Uit de beweging en de samenstelling van de sterren maakten de onderzoekers op dat deze sterren afkomstig zijn uit een ander sterrenstelsel en dat ze dus niét zijn geboren in ons melkwegstelsel. Ze noemden dit stelsel Gaia-Enceladus. 

Het Gaia-Enceladus sterrenstelsel is ongeveer 8 tot 11 miljard jaar geleden in botsing gekomen met ons melkwegstelsel. Door die botsing werd het helemaal uiteengetrokken. De individuele sterren van het stelsel verspreidden zich over ons melkwegstelsel. Vandaag herkennen we ze nog door hun lichtjes afwijkende samenstelling en doordat ze op een andere manier tussen de sterren bewegen. Ons melkwegstelsel heeft Gaia-Enceladus dus wel opgeslokt, maar niet helemaal verteerd. 

Meer leest u in Heelal, het tijdschrift van de Vereniging voor Sterrenkunde van januari 2019.

h / 6.626 070 040 E-34 m x m / s gehakt alstublieft...

De antieke kilogram. Foto: Greg L.

Om aan natuurkunde te doen hebben we zeven fundamentele eenheden: de seconde (tijd), de meter (afstand), de kilogram (massa), de ampère (stroom), de mol (hoeveelheid materie), de kelvin (temperatuur) en de candela (lichtsterkte).

Men moet deze eenheden nauwkeurig kunnen bepalen en meten: van de nauwkeurigheid van de eenheid hangt immers af hoe nauwkeurig we andere metingen kunnen doen. Hoe kunnen we een tijdsinterval nauwkeurig meten als we niet precies weten (en kunnen bepalen) hoe lang een seconde nu juist duurt?

De seconde en de meter zijn erg nauwkeurig bepaald. De seconde is de duur van een exact aantal zeer specifieke trillingen van een cesiumatoom en kan zeer precies worden gemeten. De meter is de afstand die licht in vacuüm aflegt in 1/299 792 458 van een seconde (u herkent de lichtsnelheid!).

Het zwakke punt in het systeem van eenheden is de kilogram. Die is nog altijd gedefinieerd als de massa van een blok platina-iridium die zich in een kluis bevindt in de buurt van Parijs. Van die ene "standaardkilogram" heeft men kopieën gemaakt, die men dan op hun beurt gebruikt om verdere massa's te ijken.

Het probleem is dat dit systeem  niet nauwkeurig genoeg is voor de moderne natuurkunde. Over de laatste eeuw heeft men afwijkingen gevonden in de standaardkilogram en zijn kopieën, die tot meer dan 50 microgram oplopen. Het lijkt niet veel, maar het is onaanvaardbaar voor moderne natuurkundige metingen...

Men besliste daarom om het systeem van natuurkundige eenheden anders in elkaar te zetten. De seconde en de meter blijven hetzelfde, maar de andere eenheden krijgen een andere definitie. Elk van deze definities is gekoppeld aan een natuurconstante, die in het nieuwe systeem een exacte waarde krijgt. Vergelijk dit met de definitie van de meter: die vertrekt van een per definitie exacte waarde van de lichtsnelheid (299 792 458 meter per seconde).

Om de kilogram te definiëren zal men de constante van Planck gebruiken. De plannen zijn om deze constante in mei 2019 een exacte waarde te geven, bijvoorbeeld 6.626 070 040 10^-34 kg m²/s. Eén kilogram is dan die massa, waarvoor men een waarde meet voor de constante van Planck van 6.626 070 040 10^-34 kg m²/s. Die metingen kunnen gebeuren met een erg gevoelige "weegschaal", een zogenaamde Wattbalans. Daar vergelijke men mechanische krachten met elektromagnetische krachten, wat toelaat om een hoeveelheid massa in de balans in overeenstemming te brengen met de constante van Planck.

Ook drie andere eenheden zullen een definitie krijgen op basis van een natuurconstante. Voor de ampère is dit de elementaire lading (de grootte van de lading van een proton of elektron). Voor de mol is dit het getal van Avogadro. Temperatuur zal men definiëren aan de hand van de constante van Boltzmann, die temperatuur verbindt met energie. De definitie van de candela blijft, net als die van de seconde en de meter, onveranderd.

De nieuwe definities zullen uiteraard niet veel veranderen in ons dagelijks leven. Ze zijn vooral van belang voor uiterst nauwkeurige metingen in laboratoria. De grootste verandering zal zijn dat natuurkundeboeken bij sommige natuurconstanten geen fout meer zullen opgeven: ze zullen exact gedefinieerd zijn. Het gaat om de constanten van Planck, Boltzmann, Avogadro, Josephson, von Klitzing, Faraday, de elementaire lading en de molaire gasconstante. Andere constanten zullen dan weer niet meer exact zijn, maar een foutenmarge meekrijgen: de temperatuur van het tripelpunt van water, de massa van het C-12 atoom en de permeabiliteit van vacuüm.

De veranderingen zouden in mei 2019 officieel worden... men zegge het voort!

Gewone materie en donkere materie in de kosmische achtergrondstraling

De waargenomen fluctuaties in de kosmische achtergrondstraling.
Figuur: ESA/Planck samenwerking.

Op de mailinglist van de Vereniging voor Sterrenkunde verscheen de vraag hoe men uit de kosmische achtergrondstraling kan afleiden hoeveel gewone en hoeveel donkere materie er in het heelal zit. Zijn beide niet identiek als het over zwaartekracht gaat?

Het antwoord is dat gewone materie zich in het jonge heelal anders gedroeg dan donkere materie. In het jonge heelal (bijvoorbeeld 100 000 jaar oud, temperatuur ongeveer 10000 graden) was de materie lichtjes onregelmatig verdeeld. Door fluctuaties in de zwaartekracht traden er op regelmatige plaatsen condensaties op, waar de materie wat dichter opeenpakte dan het gemiddelde. Daarnaast had je uiteraard ook plaatsen waar de materie minder dicht was. In zo'n verdichting reageerde gewone materie door de temperatuur ter plaatse wat te verhogen, waardoor de druk verhoogde en de samenklontering werd tegengewerkt. Dit veroorzaakte een soort van golven ("akoestische golven") in het heelal, met afwisselend plaatsen van grotere en kleinere dichtheid van gewone materie. Die golven zijn vandaag nog zichtbaar in de kosmische achtergrondstraling als kleine vlekjes (fluctuaties in de kosmische achtergrondstraling), aan de hemel ongeveer een derde graad groot.

De donkere materie "deed ook mee" aan de lokale condensaties, maar donkere materie warmt door samentrekking niet op, in tegenstelling tot gewone materie. Daardoor vormde donkere materie in het jonge heelal kleinere condensaties dan gewone materie. Die condensaties zien we vandaag in de achtergrondstraling als vlekjes van ongeveer een vijfde graad groot.

De verdeling van de grootte van de temperatuurfluctuaties in de kosmische
achtergrondstraling. Horizontaal staat grootte van de fluctuaties,
de verticale schaal is een maat voor het aantal vlekjes met een gegeven
afmeting. Figuur: ESA/Planck samenwerking.

De WMAP en Planck satellieten hebben de verdeling van de grootte van de vlekjes in de kosmische achtergrondstraling gemeten. Door te kijken hoeveel vlekjes van 1/3 graad en 1/5 graad er zijn, kan men een idee krijgen van hoeveel gewone en hoeveel donkere materie er in het heelal moet zitten. Kijken we naar de verdeling van de grootte van de vlekjes in de achtergrondstraling, dan zien we een aantal opeenvolgende pieken. De eerste piek, een aantal vrij grote vlekken, wordt vooral beïnvloed door de kromming van het heelal. Het is uit deze piek dat men afleidde dat ons heelal vlak is. De tweede piek zegt dat er veel vlekjes zijn van ongeveer een derde graad groot. Dit is een maat voor de hoeveelheid gewone materie. De derde piek, bij een vijfde graad, is een maat voor de donkere materie. 

Deze uitleg is wat schematisch. In de praktijk worden alle pieken in meer of in mindere mate

beïnvloed door zowel de kromming, de hoeveelheid gewone en de hoeveelheid donkere materie.